「非線形」という言葉を聞くと、なんだか難しそうだと感じませんか？
世の中の多くの現象——たとえば、天気、経済、脳波、電力網の動き——は「非線形」な仕組みで成り立っています。これらは単純な足し算・引き算では説明できない複雑な振る舞いをします。
では、こうした複雑な現象をどうやって理解・制御するのか？
その答えの一つが「クープマン解析」です。この手法は、一見非線形な現象を、「線形」という扱いやすい形に変換して理解する方法です。
難しそうに見えて、じつは発想はとてもシンプルです。
本記事では、高度な数学の知識がなくてもイメージがつかめるように、クープマン解析の基本的な考え方を解説していきます。
1. 「非線形」とはなにか？その難しさ
まず「線形」と「非線形」の違いから押さえましょう。
線形とは？
線形とは、たとえば次のような関係です。
- 入力が2倍になれば、出力も2倍になる。
- 2つの入力を足すと、それぞれの出力を足したものと同じになる。
これは高校の1次関数（\(y = ax + b\)）のような世界です。非常にわかりやすく、予測もしやすい。
非線形とは？
一方で、非線形な現象では、以下のようなことが起きます。
- ちょっとだけ入力を変えたのに、出力が大きく変わる。
- 2つの入力を足しても、それぞれの出力を足したものにならない。
- カオスや振動など、予測困難な現象が発生する。
天気予報が当たらないことがあるのも、非線形だからです。微小な変化が大きな結果を生む「バタフライ効果」も、非線形の特徴です。
2. 非線形を「線形に見せる」クープマンのアイデア
非線形は手強い。だからこそ、数理科学者たちはこう考えました。
どうにかして、非線形な現象を線形なものとして扱えないか？
このとき登場するのが、「クープマン作用素」という考え方です。
クープマン作用素とは？
もともと1931年、数学者バーナード・クープマン（Bernard Koopman）によって提案されたアイデアで、非線形な力学系を、無限次元の線形作用素として記述するというものです。
具体的には、システムそのものを追いかけるのではなく、システムの「観測量の時間変化」に注目します。そして、その変化を「関数に作用する写像（=作用素）」として線形的に記述します。
これを「クープマン作用素」と呼びます。
3. クープマン解析の流れ（ざっくりイメージ）
以下のような流れで、非線形なシステムを線形の世界に移します。
ステップ1：観測量を選ぶ
非線形なシステムに対して、何を観測するか（例：温度、速度、位置など）を決めます。これを「観測量」と呼びます。
ステップ2：その観測量の時間変化を捉える
たとえば、位置が時間とともにどう変わるか。その変化は「非線形」でも、関数空間上での変化（関数が変わる様子）として見れば、線形になる可能性があるのです。
ステップ3：クープマン作用素によって、関数の時間発展を表現する
観測量 \( f(x) \) を関数とし、その時間発展を \(U^t f = f \circ S^t\) のように書きます。ここで \( S^t \)はシステムの流れ（時間 \(t \)だけ進んだ状態）を意味します。
この \( U^t \) がクープマン作用素です。これは線形になります。
ステップ4：この線形作用素に対して、線形代数の手法（固有値・固有関数など）を使って解析する
すると、非線形だった現象に、線形的な理解と予測の道具を使うことができるのです。
4. クープマン解析の応用例
モデル予測制御（MPC）
非線形なシステムを線形的に近似し、未来の挙動を予測しながら制御を行う技術に応用されています。
例：電力網の制御、空調の最適化、ロボット制御など。
動的モード分解（DMD）
観測データ（センサデータなど）から、クープマン解析の考え方を使って支配的なモード（振る舞いのパターン）を抽出します。
例：航空機の空力解析、風洞実験、金融時系列分析など。
5. クープマン解析のメリットと限界
メリット
- 非線形な問題を線形代数で扱える：これにより理論的な解析や制御設計がやりやすくなる。
- データから構築できる：システムの方程式がわからなくても、観測データから近似モデルを作れる。
- モジュール化が可能：固有関数ごとに分けて解析できる。
限界・課題
- 関数空間の選び方が重要：適切な観測量（関数）を選ばないと、良い線形化ができない。
- 完全な線形化は難しい：現実には近似的にしか表現できない。
- 計算コスト：無限次元の代わりに高次元の行列で代替するため、計算資源が必要。
6. 非専門家が触れるには？
以下の方法で、非専門家でもクープマン解析に触れられます。
- DMDツールを使う：Python や MATLAB に「DMD」ライブラリがあり、簡単に使える。
- 簡単な時系列で試す：人口データや気温データなど、非線形的な変動のあるデータで試す。
- 固有値・固有ベクトルの復習：クープマン解析の要になるのは「線形代数」。まずはそこからでも十分です。
まとめ：非線形の世界に「線形の目」をもたらす
クープマン解析は、数学的には高度な理論ですが、その発想自体はとてもユニークです。
「直接扱えないなら、見方を変えてみよう」
この考え方は、複雑な現象をどう理解し、制御するかに悩む多くの分野で使われ始めています。
まだ研究段階の要素も多い分野ですが、「非線形のふるまいを、線形でとらえる」というこの手法は、今後ますます注目されていくでしょう。
参考文献
- 薄良彦「クープマン作用素による非線形システムの制御」（2022）
- 薄良彦「力学系のクープマン作用素: 入門と制御への応用」（2022）
- 薄良彦「クープマン作要素による非線形ダイナミクスの解析」（2017）
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